Question

证明：（1）2≤（1+

1

n

）ⁿ＜3，其中n∈N^*；
（2）证明：对任意非负整数n，3³ⁿ-26n-1可被676整除．

Answer 1

考点：整除的基本性质

专题：二项式定理

分析：（1）（1+

1

n

）ⁿ=1+

C

1 n

•

1

n

+

C

2 n

•(

1

n

)2+…+

C

n n

•(

1

n

)n≥2，恒成立，进而利用放缩法和裂项相消法，可证得（1+

1

n

）ⁿ＜3，综合可得结论；
（2）当n=0时，3³ⁿ-26n-1=0，可被676整除．当n=1时，3³ⁿ-26n-1=0，可被676整除．当n≥2时，3³ⁿ-26n-1=27ⁿ-26n-1=（1+26）ⁿ-26n-1=

C

2 n

•262+…+

C

n n

•26n，可被676整除．综合可得结论．

解答： 证明：（1）（1+

1

n

）ⁿ=1+

C

1 n

•

1

n

+

C

2 n

•(

1

n

)2+…+

C

n n

•(

1

n

)n≥2，
当且仅当n=1时取等号，
当n=1时，（1+

1

n

）ⁿ=2＜3显然成立，
当n≥2时，（1+

1

n

）ⁿ=

C

0 n

+

C

1 n

•

1

n

+

C

2 n

•(

1

n

)2+…+

C

n n

•(

1

n

)n=2+

C

2 n

•(

1

n

)2+…+

C

n n

•(

1

n

)n=2+

n(n-1)

2!

•(

1

n

)2+

n(n-1)(n-2)

3!

•(

1

n

)3+…+

n(n-1)(n-2)…2•1

n!

•(

1

n

)n＜2+

1

2!

+

1

3!

+…+

1

n!

＜2+

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n×(n+1)

=3-

1

n+1

＜3，
综上所述：2≤（1+

1

n

）ⁿ＜3，
 （2）当n=0时，3³ⁿ-26n-1=0，可被676整除．
当n=1时，3³ⁿ-26n-1=0，可被676整除．
当n≥2时，3³ⁿ-26n-1=27ⁿ-26n-1=（1+26）ⁿ-26n-1=

C

0 n

+

C

1 n

•26+

C

2 n

•262+…+

C

n n

•26n-26n-1=

C

2 n

•262+…+

C

n n

•26n，可被676整除．
综上所述：对任意非负整数n，3³ⁿ-26n-1可被676整除．

点评：本题考查了二项式定理展开式的应用，熟练掌握二项式定理展开公式，是解答的关键．