Question

18．如图，已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的一个焦点为（$\sqrt{3}$，0），（1，$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$）是椭圆上的一个点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设椭圆的上、下顶点分别为A，B，P（x₀，y₀）（x₀≠0）是椭圆上异于A，B的任意一点，PQ⊥y轴，Q为垂足，M为线段PQ中点，直线AM交直线l：y=-1于点C，N为线段BC的中点，如果△MON的面积为$\frac{3}{2}$，求y₀的值．

Answer 1

分析 （1）确定$c=\sqrt{3}$，利用$（1，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$是椭圆上的一个点，代入求出a，即可求椭圆的标准方程；
（2）求出M，N的坐标，利用平面向量的数量积判断OM⊥MN，利用△MON的面积为$\frac{3}{2}$，建立方程，即可求y₀的值．

解答 解：（1）设椭圆方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，由题意，得$c=\sqrt{3}$．
 因为a²-c²=b²，所以b²=a²-3．
又$（1，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$是椭圆上的一个点，所以$\frac{1}{a^2}+\frac{{\frac{3}{4}}}{{{a^2}-3}}=1$，解得a²=4或${a^2}=\frac{3}{4}$（舍去），
从而椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．
（2）因为P（x₀，y₀），x₀≠0，则Q（0，y₀），且$\frac{{{x_0}^2}}{4}+{y_0}^2=1$．
因为M为线段PQ中点，所以$M（{\frac{x_0}{2}，{y_0}}）$．
又A（0，1），所以直线AM的方程为$y=\frac{{2（{y_0}-1）}}{x_0}x+1$．
因为x₀≠0，∴y₀≠1，令y=-1，得$C（{\frac{x_0}{{1-{y_0}}}，-1}）$． 
又B（0，-1），N为线段BC的中点，有$N（{\frac{x_0}{{2（1-{y_0}）}}，-1}）$．
所以$\overrightarrow{NM}=（{\frac{x_0}{2}-\frac{x_0}{{2（1-{y_0}）}}，{y_0}+1}）$．
因此，$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{NM}=\frac{x_0}{2}（{\frac{x_0}{2}-\frac{x_0}{{2（1-{y_0}）}}}）+{y_0}•（{y_0}+1）=\frac{{{x_0}^2}}{4}-\frac{{{x_0}^2}}{{4（1-{y_0}）}}+{y_0}^2+{y_0}$
=$（\frac{{{x_0}^2}}{4}+{y_0}^2）-\frac{{{x_0}^2}}{{4（1-{y_0}）}}+{y_0}=1-（1+{y_0}）+{y_0}=0$．从而OM⊥MN．
因为$|{OM}|=\sqrt{\frac{{{x_0}^2}}{4}+{y_0}^2}=1$，$|{ON}|=\sqrt{\frac{x_0^2}{{4{{（1-{y_0}）}^2}}}+1}=\sqrt{\frac{1-y_0^2}{{{{（1-{y_0}）}^2}}}+1}=\sqrt{\frac{2}{{1-{y_0}}}}$，
所以在Rt△MON中，$|{MN}|=\sqrt{{{|{ON}|}^2}-{{|{OM}|}^2}}$，因此${S_{△MON}}=\frac{1}{2}|{OM}||{MN}|=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{{1+{y_0}}}{{1-{y_0}}}}$．
从而有$\frac{1}{2}\sqrt{\frac{{1+{y_0}}}{{1-{y_0}}}}=\frac{3}{2}$，解得${y_0}=\frac{4}{5}$．

点评 本题考查了平面向量的应用问题，也考查了椭圆的定义与几何性质的应用问题，考查了直线与椭圆的综合应用问题，是综合性题目．