Question

6．（1）已知数列{a_n}：a₁=1，a_n+1+a_n=4，求数列{a_n}的通项公式；
（2）求函数$f（x）=\sqrt{1-x}+\sqrt{x}$的值域．

Answer 1

分析 （1）根据关系式，构造新数列，a_n+1+a_n=4变形为a_n+1-2=-（a_n-2），令b_n=a_n-2，那么b_n+1=a_n+1-2，转化为等比数列求解．
（2）求出定义域，利用两边平方法，转化为二次函数求值域．

解答 解：（1）由题意：数列{a_n}：a₁=1，a_n+1+a_n=4变形为a_n+1-2=-（a_n-2），令b_n=a_n-2，则b₁=-1，b_n+1=a_n+1-2，那么：$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}=-1=q$（等比数列），首项b₁=-1，
∴${b}_{n}=（-1）^{n}$，
故得：${a}_{n}={b}_{n}+2=2+（-1）^{n}$
所以数列{a_n}的通项公式为：2+（-1）ⁿ．
（2）函数$f（x）=\sqrt{1-x}+\sqrt{x}$，其定义域为{x|0≤x≤1}．
∵f（x）＞0，
两边平方，可得：f²（x）=1+2$\sqrt{x-{x}^{2}}$，
∵x-x²在0≤x≤1的值域为[0，$\frac{1}{4}$]，
那么：（2$\sqrt{x-{x}^{2}}$）∈[0，1]，
∴f²（x）∈[1，2]，
∴f（x）∈[1，$\sqrt{2}$]．
所以函数$f（x）=\sqrt{1-x}+\sqrt{x}$的值域为$[{1，\sqrt{2}}]$；

点评 本题考查了数列的通项公式的求法，利用构造思想，转化为等比数列求解．考查了函数的值域的求法，利用了平方法转化为二次函数问题求解．属于基础题．