Question

10．函数y=$\frac{\sqrt{3-ax}}{a-1}$（a≠1）在区间（0，1]是减函数，则a的取值范围是（-∞，0）∪（1，3]．

Answer 1

分析 先求导数$y′=\frac{-a}{2（a-1）\sqrt{3-ax}}$，根据题意便可得到$\frac{-a}{a-1}＜0$，从而解出a＜0，或a＞1①，还需满足3-ax≥0在x∈（0，1]上恒成立，这样便得到$a≤\frac{3}{x}$在x∈（0，1]上恒成立，从而得出a≤3②，这样由①②便可得出a的取值范围．

解答 解：$y′=\frac{-a}{2（a-1）\sqrt{3-ax}}$；
原函数在（0，1]上是减函数；
∴y′＜0；
∴$\frac{-a}{a-1}＜0$；
解得a＜0，或a＞1；
且3-ax≥0在x∈（0，1]上恒成立；
即$a≤\frac{3}{x}$在x∈（0，1]上恒成立；
$y=\frac{3}{x}$在（0，1]上的最小值为3；
∴a≤3，又a＜0，或a＞1；
∴a＜0，或1＜a≤3；
∴a的取值范围为（-∞，0）∪（1，3]．
故答案为：（-∞，0）∪（1，3]．

点评 考查函数单调性和函数导数符号的关系，分式不等式的解法，以及反比例函数的单调性，根据函数单调性求最值．