Question

15．已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}（2x-{x^2}）{e^x}，x≤0\\-{x^2}+6x+1，x＞0\end{array}\right.$，g（x）=f（x）+m，若函数g（x）恰有三个不同零点，则实数m的取值范围为（　　）

• A． （1，10）
• B． （-10，-1）
• C． $（0，\frac{{2\sqrt{2}+2}}{{{e^{\sqrt{2}}}}}）$
• D． $（-10，\frac{{2\sqrt{2}+2}}{{{e^{\sqrt{2}}}}}）$

Answer 1

分析 根据函数单调性作出f（x）的函数图象，根据函数f（x）的图象得出m的范围．

解答 解：当x≤0时，f′（x）=（2-2x）e^x+（2x-x²）e^x=（2-x²）e^x．
∴当x＜-$\sqrt{2}$时，f′（x）＜0，当-$\sqrt{2}＜$x＜0时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（-∞，-$\sqrt{2}$）上单调递减，在（-$\sqrt{2}$，0）上单调递增，
当x＜0时，f（x）＜0，f（-$\sqrt{2}$）=-$\frac{2\sqrt{2}+2}{{e}^{\sqrt{2}}}$，f（0）=0．
当x＞0时，f（x）在（0，3）上单调递增，在（3，+∞）上单调递减，
f（3）=10，$\underset{lim}{x→+∞}f（x）$→-∞，
作出f（x）的大致函数图象如图：

∵g（x）=f（x）+m恰有三个不同零点，∴-m=f（x）有三个解，
∴f（-$\sqrt{2}$）＜-m＜0，
∴0＜m＜$\frac{2\sqrt{2}+2}{{e}^{\sqrt{2}}}$，
故选：C．

点评 本题考查了函数零点的个数判断，常借助函数图象来判断．属于中档题．