题目内容
20．已知各项都为正数的等比数列数列{an}，a3=8，a5=32．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=log2an，cn=$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$，记数列{cn}的前n项和Tn，求Tn．
分析 （1）由已知条件利用等比数列的通项公式求出公比，由此能求出数列{an}的通项公式．
（2）由已知得数列{cn}的通项公式，利用裂项求和法能求出数列{cn}的前n项和Tn．
解答 解：（1）设数列{an}的公比为q，a3=8，a5=32.8q2=32，
解得q=2，
可得a3=q2a1，a1=2，
∴由${a_1}=2，q=2∴{a_n}={2^n}$．
（2）bn=log2an=log22n=n，cn=$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
Tn=$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$=1$-\frac{1}{n+1}$，
可得：${T_n}=\frac{n}{n+1}$．
点评 本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．
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