Question

14．已知函数f（x）=asinx+bcosx（a，b为常数且a≠0，x∈R）．当x=$\frac{π}{4}$时，f（x）取得最大值．
?（1）计算f（$\frac{11π}{4}$）的值；
?（2）设g（x）=f（$\frac{π}{4}$-x），判断函数g（x）的奇偶性，并说明理由．??

Answer 1

分析 首先，根据已知得到f（x）=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$sin（x+θ），然后根据最值建立等式，得到a=b，再化简函数f（x）=$\sqrt{2}$asin（x+$\frac{π}{4}$），
（1）将$\frac{11π}{4}$代入解析式求值；
（2）求出g（x）解析式，利用奇偶函数定义判断奇偶性．

解答 解：由已知得到f（x）=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$sin（x+θ），又x=$\frac{π}{4}$时，f（x）取得最大值．
所以a=b，f（x）=$\sqrt{2}$asin（x+$\frac{π}{4}$），
所以（1）f（$\frac{11π}{4}$）=$\sqrt{2}$asin（3π）=0；
（2）g（x）为偶函数．
理由：设g（x）=f（$\frac{π}{4}$-x）=$\sqrt{2}$asin（$\frac{π}{2}$-x）=$\sqrt{2}$acosx，
所以函数g（-x）=g（x），为偶函数．

点评 本题考查了三角函数的性质以及奇偶性的判定；属于基础题．