Question

已知函数f（x）=

-2x+b

2x+1+a

（a，b为实常数）是奇函数．
（1）求a，b的值；
（2）若f（x）的定义域为R，求f（x）的值域；
（3）若对任意的x∈R，不等式f（4^x-k2^x+1）+f（k2^2x+1+k-1）＜0恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）直接由f（0）=0求得b，再由f（1）=-f（1）求得a；
（2）由（1）求得的a，b的值得到函数解析式，然后结合指数函数的值域求得f（x）的值域；
（3）判断出函数f（x）为减函数，把不等式不等式f（4^x-k2^x+1）+f（k2^2x+1+k-1）＜0转化为4^x-k2^x+1＞-k2^2x+1-k+1，令2^x=t（t＞0），化为关于t的不等式（2k+1）t²-2kt+k-1＞0对于任意的t＞0恒成立，然后由三个二次结合得答案．

解答： 解：（1）∵f（x）=

-2x+b

2x+1+a

是奇函数，
∴f（0）=0，
即

b-1

a+2

=0，b=1，
∴f（x）=

1-2x

a+2x+1

，
又由f（1）=-f（-1）知

1-2

a+4

=-

1- 1 2

a+1

．
∴a=2，b=1；
（2）由（1）知f(x)=

1-2x

2+2x+1

=-

1

2

+

1

2x+1

，
当x∈R时，2^x+1＞1，0＜

1

2x+1

＜1，
∴f（x）∈（-

1

2

，

1

2

）；
（3）由（2）知f（x）在（-∞，+∞）上为减函数．
由f（4^x-k2^x+1）+f（k2^2x+1+k-1）＜0恒成立，
等价于f（4^x-k2^x+1）＜-f（k2^2x+1+k-1）=f（-k2^2x+1-k+1），
即4^x-k2^x+1＞-k2^2x+1-k+1恒成立，
令2^x=t（t＞0），
则（2k+1）t²-2kt+k-1＞0对于任意的t＞0恒成立，
则

2k+1＞0 (-2k)2-4(2k+1)(k-1)＜0

或

2k+1＞0 k 2k+1 ≤0 k-1≥0

，
解得：k＞

5 +1

2

或k∈∅，
综上，满足对任意的x∈R，不等式f（4^x-k2^x+1）+f（k2^2x+1+k-1）＜0恒成立的实数k的取值范围是(

5 +1

2

，+∞)．

点评：本题考查了函数奇偶性性质的应用，考查了函数单调性的判定方法，训练了数学转化思想方法，训练了利用“三个二次”的结合求解参数问题，是压轴题．