Question

证明：若m²+n²=2，则m+n≤2．

Answer 1

考点：不等式的基本性质

专题：不等式的解法及应用

分析：三角换元：设m=

2

cosθ，n=

2

sinθ，可得m+n=

2

cosθ+

2

sinθ=2sin（θ+

π

4

），由正弦函数的有界限可得．

解答： 证明：∵m²+n²=2，∴设m=

2

cosθ，n=

2

sinθ
∴m+n=

2

cosθ+

2

sinθ=2sin（θ+

π

4

），
∵sin（θ+

π

4

）≤1，∴2sin（θ+

π

4

）≤2，
∴m+n≤2．

点评：本题考查不等式的证明，三角换元是解决问题的关键，属基础题．