Question

17．设双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a，b＞0）的实轴长为4$\sqrt{3}$，焦点到渐近线的距离为$\sqrt{3}$．
（1）求此双曲线的方程；
（2）已知直线y=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x-2与双曲线的右支交于A，B两点，且在双曲线的右支上存在点C，使得$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{OB}$=m$\overrightarrow{OC}$，求m的值及点C的坐标．

Answer 1

分析 （1）由实轴长可得a值，由焦点到渐近线的距离可得b，c的方程，再由a，b，c间的平方关系即可求得b；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₀，y₀），则x₁+x₂=mx₀，y₁+y₂=my₀，联立直线方程与双曲线方程消掉y得x的二次方程，由韦达定理可得x₁+x₂，进而求得y₁+y₂，从而可得$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}}$，再由点D在双曲线上得一方程，联立方程组即可求得C点坐标，从而求得m值．

解答 解：（1）由实轴长为4$\sqrt{3}$，得a=2$\sqrt{3}$，
渐近线方程为y=$\frac{b}{2\sqrt{3}}$x，即bx-2$\sqrt{3}$y=0，
∵焦点到渐近线的距离为$\sqrt{3}$，
∴$\frac{|bc|}{\sqrt{{b}^{2}+12}}$=$\sqrt{3}$，又c²=b²+a²，∴b²=3，
∴双曲线方程为：$\frac{{x}^{2}}{12}-\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₀，y₀），则x₁+x₂=mx₀，y₁+y₂=my₀，
由直线与双曲线方程联立，可得${x}^{2}-16\sqrt{3}x+84=0$，∴x₁+x₂=16$\sqrt{3}$，
∴y₁+y₂=$\frac{\sqrt{3}}{3}×16\sqrt{3}$-4=12，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}}\\{\frac{{{x}_{0}}^{2}}{12}-\frac{{{y}_{0}}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，解得x₀=4$\sqrt{3}$，y₀=3，∴m=4，
∴C（4$\sqrt{3}$，3），m=4．

点评 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、双曲线标准方程的求解，考查向量的线性运算，考查学生分析问题解决问题的能力．