Question

9．已知等差数列{a_n}前n项的和为S_n，且（2n-1）S_n+1-（2n+1）S_n=4n²-1（n∈N^•）
（1）求a₁；
（2）求S_n，a_n；
（3）设b_n=|a_n-30|，求{b_n}的前n项的和为T_n．

Answer 1

分析 （1）分别令n=1，2，列出方程组解出；
（2）根据a₁和d写出．
（3）分当n≤8和n≥8两种情况进行讨论．

解答 解：（1）由已知得$\left\{\begin{array}{l}{S_2}-3{S_1}=3\\ 3{S_3}-5{S_2}=15\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-{a}_{1}+d=3}\\{-{a}_{1}+4d=15}\end{array}\right.$，解得a₁=1，d=4．
（2）∵{a_n}为等差数列，a₁=1，d=4，
∴a_n=1+（n-1）•4=4n-3，
${S_n}=\frac{1+4n-3}{2}n=2{n^2}-n$．
（3）b_n=|4n-33|，
n≤8时，b_n=33-4n，${T_n}=\frac{{{b_1}+{b_n}}}{2}n=\frac{29-4n+33}{2}n=-2{n^2}+31n$，
n＞8时，b_n=4n-33，${T_n}={T_8}+\frac{{{b_9}+{b_n}}}{2}（n-8）=120+\frac{3+4n-33}{2}（n-8）=2{n^2}-31n+240$．
所以T_n=$\left\{\begin{array}{l}{-2{n}^{2}+31n，n≤8}\\{2{n}^{2}-31n+240，n＞8}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式，求和公式，分类讨论思想，属于中档题．