Question

14．数列{a_n}的前n项和为S_n．若数列{a_n}的各项按如下规则排列：$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{4}$，$\frac{2}{4}$，$\frac{3}{4}$，$\frac{1}{5}$，$\frac{2}{5}$，$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}$…$\frac{1}{n}$，$\frac{2}{n}$，…$\frac{n-1}{n}$…若存在正整数k，使S_k-1＜10，S_k＞10，则a_k=$\frac{6}{7}$．

Answer 1

分析 把原数列划分，发现他们的个数是1，2，3，4，5…构建新数列b_n，很显然是个等差数列，利用等差数列的和知道T₅=$\frac{15}{2}$，T₆=$\frac{21}{2}$，所以a_k定在$\frac{1}{7}$，$\frac{2}{7}$，…，$\frac{6}{7}$中，在根据S_k-1＜10，S_k≥10求出具体结果．

解答 解：把原数列分组，分母相同的为一组，发现他们的个数是1，2，3，4，5…
构建新数列{b_n}，表示数列中每一组的和，则b_n=$\frac{n}{2}$是个等差数列，记{b_n}的前n项和为T_n，
利用等差数列的和知道T₅=$\frac{15}{2}$，T₆=$\frac{21}{2}$，
所以a_k定在$\frac{1}{7}$，$\frac{2}{7}$，…，$\frac{6}{7}$中，
又因为S_k-1＜10，S_k≥10，而T₅+$\frac{1}{7}$+$\frac{2}{7}$+…+$\frac{5}{7}$=9+$\frac{9}{14}$＜10，T₅+$\frac{1}{7}$+$\frac{2}{7}$+…+$\frac{5}{7}$+$\frac{6}{7}$=10+$\frac{1}{2}$＞10，
故第k项为a_k=$\frac{6}{7}$．
故答案为$\frac{6}{7}$．

点评 本题目主要考查学生对数列的观察能力，找出数列之间的相互关系，根据等差数列的前n项和计算公式，根据已有条件计算．考查学生的计算能力．