Question

9．已知幂函数f（x）=x${\;}^{（{m}^{2}+m）^{-1}}$（m∈N^*）的图象经过点$（{2，\sqrt{2}}）$．
（1）试求m的值并写出该幂函数的解析式；
（2）试求满足f（1+a）＞f（3-$\sqrt{a}}$）的实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据幂函数的定义，把点的坐标代入函数解析式，求出m的值，从而求出函数的解析式即可；
（2）根据函数的单调性得到关于a的不等式，解出即可．

解答 解：（1）∵幂函数f（x）的图象经过点$（{2，\sqrt{2}}）$，
∴$\sqrt{2}$=${2}^{{{（m}^{2}+m）}^{-1}}$，即m²+m=2，解得：m=1或m=-2，
∵m∈N^*，故m=1，
故f（x）=$\sqrt{x}$，x∈[0，+∞）；
（2）∵f（x）在[0，+∞）递增，
由f（1+a）＞f（3-$\sqrt{a}}$），
得$\left\{\begin{array}{l}{1+a≥0}\\{3-\sqrt{a}≥0}\\{1+a＞3-\sqrt{a}}\end{array}\right.$，解得：1＜a≤9，
故a的范围是（1，9]．

点评 本题考查了幂函数的定义，考查函数的单调性问题，是一道基础题．