Question

20．设双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，过点F₂作直线A，B交双曲线右支于A，B两点，若|AF₁|+|BF₁|的最小值为11a，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $\frac{3\sqrt{2}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Answer 1

分析 由题意可得，当直线AB与x轴垂直时，|AF₁|+|BF₁|的最小，根据F₂的坐标，求出|AB|=$\frac{2{b}^{2}}{a}$，再根据双曲线的定义可得$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{7}{2}$，再根据离心率公式计算即可．

解答 解：由题意可得，当直线AB与x轴垂直时，|AF₁|+|BF₁|的最小，
又F₂=（c，0），
∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
解得y=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，
∴|AB|=$\frac{2{b}^{2}}{a}$，
∵|AF₁|+|BF₁|-|AB|=4a，
∴11a-$\frac{2{b}^{2}}{a}$=4a，
∴$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{7}{2}$，
∴e=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1+\frac{7}{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
故选：C．

点评 本题考查了双曲线的性质和定义，考查了学生的转化能力和运算能力，属于中档题