Question

10．如图，多面体ABCDE中，AB=AC，BE∥CD，BE⊥BC，平面BCDE⊥平面ABC，M为BC的中点．
（Ⅰ）若N是线段AE的中点，求证：MN∥平面ACD．
（Ⅱ）若N是AE上的动点且BE=1，BC=2，CD=3，求证：DE⊥MN．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AB的中点P，连接PM，PN，证明平面MNP∥平面ACD，即可证明MN∥平面ACD．
（Ⅱ）连接EM，AM，DM，证明DE⊥平面AEM，即可证明DE⊥MN．

解答 证明：（Ⅰ）取AB的中点P，连接PM，PN，
由P，N为中点得PN∥BE∥CD，
∵PN?平面ACD，CD?平面ACD，∴PN∥平面ACD，
同理可得：PM∥平面ACD，
∵PN∩PM=P，
∴平面MNP∥平面ACD，
∵MN?平面MNP，
∴MN∥平面ACD；
（Ⅱ）连接EM，AM，DM，
∵AB=AC且M为BC的中点，
∴AM⊥BC，
∵平面BCDE⊥平面ABC，
∴AM⊥平面BCDE，
∴AM⊥DE，
∵在直角梯形BCDE中，BE=1，BC=2，CD=3，
∴△DEM中，DE=2$\sqrt{2}$，EM=$\sqrt{2}$，DM=$\sqrt{10}$，
∴DE²+EM²=DM²，
∴DE⊥EM，
∵AM∩EM=M，
∴DE⊥平面AEM，
∵MN?平面AEM，
∴DE⊥MN．

点评 本题考查线面平行的判定，考查线面垂直的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．