Question

9．已知抛物线y²=8x的一条弦AB经过焦点F，O为坐标原点，D为线段OB的中点，延长OA至点C，使|OA|=|AC|，过C，D向y轴作垂线，垂足分别为E，G，则|EG|的最小值为4$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 设直线AB的方程为x=my+1，代入抛物线y²=8x，可得y²-8my-8=0，|EG|=$\frac{1}{2}$y₂-2y₁=$\frac{1}{2}$y₂+$\frac{16}{{y}_{2}}$，利用基本不等式即可得出结论．

解答 解：设直线AB的方程为x=my+1，代入抛物线y²=8x，可得y²-8my-8=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁+y₂=8m，y₁y₂=-8，
∴|EG|=$\frac{1}{2}$y₂-2y₁=$\frac{1}{2}$y₂+$\frac{16}{{y}_{2}}$≥4$\sqrt{2}$，当且仅当y₂=4$\sqrt{2}$时，取等号，即|EG|的最小值为4$\sqrt{2}$，
故答案为：4$\sqrt{2}$．

点评 本题考查|EG|的最小值的求法，具体涉及到抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．