Question

如图：直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=AA₁=2，∠ACB=90°．E为的中点，D点在AB上且DE=

3

（Ⅰ）求证：CD⊥平面A₁ABB₁；
（Ⅱ）求三棱锥A₁-CDE中A₁到平面CDE的距离．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）先证明出CD⊥AB，进而根据直三棱柱的性质证明出CD⊥AA₁，最后利用线面垂直的判定定理证明出 CD⊥平面A₁ABB₁
（2）根据S△A1DE=SA1ABB1-S△A1AD-S_△DEB-S△A1B1E求得△A₁DE的面积，进而求得三棱锥A₁-CDE的体积为，然后求得△CDE面积，最后利用体积公式求得A₁到平面CDE的距离．

解答： 解：（1）在Rt△DBE中，BE=1，DE=

3

，
∴BD=

DE2-BE2

=

2

=

1

2

AB，
∴D为AB中点，而AC=BC，
∴CD⊥AB
又∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱，
∴CD⊥AA₁
又 AA₁∩AB=A 且 AA₁、AB?平面A₁ABB₁
∴CD⊥平面A₁ABB₁
（2）解：∵A₁ABB₁为矩形，
∴△A₁AD，△DBE，△EB₁A₁都是直角三角形，
∴S△A1DE=SA1ABB1-S△A1AD-S_△DEB-S△A1B1E
=2×2

2

-

1

2

×

2

×2-

1

2

×

2

×1-

1

2

×2

2

×1=

3

2

2

∴V_A1-CDE=V_C-A1DE=

1

3

×S_A1DE×CD=

1

3

×

3

2

2

×

2

=1
∴三棱锥A₁-CDE的体积为1．
S_△CDE=

1

2

|CD||DE|=

1

2

×

2

×

3

=

6

2

故距离为

6

点评：本题主要考查了线面垂直的判定定理，体积公式的运用，考查了学生空间观察能力和分析问题的能力．