Question

如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形，点C的坐标为（4，0），∠AOC=60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，设直线l与菱形OABC的两边分别交于点M，N（点M在点N的上方），若△OMN的面积为S，直线l的运动时间为t秒（0≤t≤4），请求出S与t的函数关系．

Answer 1

考点：基本不等式在最值问题中的应用

专题：函数的性质及应用

分析：沿x轴正方向运动与菱形OABC的两边相交有2种情况：分别列出0≤t≤2时和当2＜t≤4时的函数解析式，进而利用函数的性质确定面积的最大值．

解答： 解：
直线l从y轴出发，沿x轴正方向运动与菱形OABC的两边相交有2种情况：
①0≤t≤2时，直线l与OA、OC两边相交
∵MN⊥OC，
∴ON=t
∴MN=ONtan60°=

3

t
∴S=

1

2

ON•MN=

3

2

t²．
②当2＜t≤4时，直线l与AB、OC两边相交
S=

1

2

ON•MN=

1

2

×t×2

3

=

3

t．
当0≤t≤2时，S_max=

3

2

×2²=2

3

当2＜t≤4时，S_max=4

3

综上所述，当t=4秒时，S的最大值为4

3

．

点评：本题主要考查了函数在解决实际问题中的应用．解题的关键是建立合适的数学模型．