Question

18．已知圆C：x²+y²-2y-4=0，直线l：mx-y+1-m=0（m∈R），且直线l与圆C交于A、B两点．
（1）直线l横过定点P，求点P的坐标；
（2）若|AB|=$\sqrt{17}$，求m的值；
（3）求弦AB的中点M的轨迹方程，并说明其轨迹的什么图形．

Answer 1

分析 （1）直线l：mx-y+1-m=0的方程可化为m（x-1）-y+1=0，可得直线l过定点P；
（2）根据弦长和半径求出弦心距，然后利用点到直线的距离公式构建关于m的方程；
（3）利用斜率关系，即可得出结论．

解答 解：（1）直线l：mx-y+1-m=0的方程可化为m（x-1）-y+1=0
∴直线l过定点P（1，1），
（2）圆C：x²+y²-2y-4=0的方程可化为：x²+（y-1）²=5
∵|AB|=$\sqrt{17}$，r=$\sqrt{5}$
∴圆心到直线l的距离为：d=$\sqrt{5-\frac{17}{4}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
∴$\frac{|-1+1+m|}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
解得：m=±$\sqrt{3}$．
（3）设M（x，y），则$\frac{y-1}{x-1}$•$\frac{y-1}{x}$=-1，
∴（x-$\frac{1}{2}$）²+y²=$\frac{1}{4}$，轨迹是以（$\frac{1}{2}$，0）为圆心，$\frac{1}{2}$为半径的圆．

点评 解决第（1）问的关键是把直线与圆的问题转化为直线过的定点与圆的位置关系问题；第（2）问关键是利用弦长的一半，半径和弦心距构成的直角三解形求出弦心距；（3）利用斜率关系，即可得出结论．