Question

19．有4名男生、5名女生，全体排成一行，下列情形各有多少种不同的排法？
（1）甲不在中间也不在两端；
（2）甲、乙两人必须排在两端；
（3）女生互不相邻．
（4）男生必须相邻．

Answer 1

分析 （1）这是一个排列问题，一般情况下，我们会从受到限制的特殊元素开始考虑，先排甲有6种，剩下的8个元素全排列有A₈⁸种，根据分步计数原理得到结果．
（2）先排甲、乙，再排其余7人，再根据分步计数原理得到结果．
（3）用插空法，先排好男生，将女生插入到男生形成的空位中即可，先由排列数公式计算男生、女生的排法数目，由分步计数原理计算可得答案．
（4）用捆绑法将4名男生看成一个整体，与5名女生全排列，由排列数公式计算每一步的情况数目，由分步计数原理可得答案．

解答 解：（1）先排甲有6种，
其余有A₈⁸种，
∴共有6•A₈⁸=241920种排法．
（2）先排甲、乙，再排其余7人，
共有A₂²•A₇⁷=10080种排法．
（3）插空法．先排4名男生有A₄⁴种方法，再将5名女生插空，有A55种方法，故共有A₄⁴•A₅⁵=2 880（种）排法．
（4）捆绑法．将4名男生看成一个整体，考虑其顺序有A₄⁴种排法，
将4名男生的整体与5名女生全排列，有A₆⁶种排法，
则不同的排法有A₄⁴×A₆⁶=17280种

点评 本题集排列多种类型于一题，充分体现了元素分析法（优先考虑特殊元素）、位置分析法（优先考虑特殊位置）、直接法、间接法（排除法）、捆绑法、等机会法、插空法等常见的解题思路．