Question

函数f（x）=x²+2|x-a|+a（a∈R），在x∈[-2，2]上的最大值为M（a），最小值为m（a）．
（1）求g（a）=M（a）-m（a）；
（2）设b∈R，若[f（x）+b]²≤36对x∈[-2，2]恒成立，求a+b的取值范围．

Answer 1

考点：函数最值的应用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）注意到f（x）=x²+2|x-a|+a=

x2+2x-a，x≥a x2-2x+3a，x＜a

；结合二次函数的单调性，分6种情况讨论；
（2）[f（x）+b]²≤36对x∈[-2，2]恒成立可化为-b-6≤f（x）≤-b+6对x∈[-2，2]恒成立，再化为最值问题，讨论求解．

解答： 解：（1）f（x）=x²+2|x-a|+a=

x2+2x-a，x≥a x2-2x+3a，x＜a

；
①当a≥2时，在x∈[-2，2]上，
f（x）=x²+2|x-a|+a=x²-2x+3a，
M（a）=f（-2）=4+4+3a=8+3a，
m（a）=f（1）=3a-1；
g（a）=M（a）-m（a）=9；
②当1≤a＜2时，
f（x）在[1，2]上单调递增，在[-2，1]上单调减，
且f（1）=3a-1，f（-2）=4+4+3a=8+3a，
f（2）=8-a；
故M（a）=f（-2）=4+4+3a=8+3a，
m（a）=f（1）=3a-1；
则g（a）=M（a）-m（a）=9；
③当0≤a＜1时，
f（x）在[a，2]上单调递增，在[-2，a]上单调减，
且f（a）=a²+a，f（-2）=4+4+3a=8+3a，
f（2）=8-a；
故M（a）=f（-2）=4+4+3a=8+3a，
m（a）=f（a）=a²+a；
则g（a）=M（a）-m（a）=-a²+2a+8；
④当-1＜a＜0时，
f（x）在[a，2]上单调递增，在[-2，a]上单调减，
且f（a）=a²+a，f（-2）=4+4+3a=8+3a，
f（2）=8-a；
故M（a）=f（2）=8-a，
m（a）=f（a）=a²+a；
则g（a）=M（a）-m（a）=-a²-2a+8；
⑤当-2＜a≤-1时，
f（x）在[-1，2]上单调递增，在[-2，-1]上单调减，
且f（-1）=1-2-a=-1-a，f（-2）=4+4+3a=8+3a，
f（2）=8-a；
故M（a）=f（2）=8-a，
m（a）=f（-1）=1-2-a=-1-a；
则g（a）=M（a）-m（a）=9；
⑥当a≤-2时，在x∈[-2，2]上，
f（x）=x²+2|x-a|+a=x²+2x-a，
M（a）=f（2）=8-a，
m（a）=f（-1）=-a-1；
g（a）=M（a）-m（a）=9；
综上所述，g（a）=

9，a≤-1或a≥1 -a2-2a+8，-1＜a＜0 -a2+2a+8，0≤a＜1

．
（2）[f（x）+b]²≤36可化为-b-6≤f（x）≤-b+6，
故[f（x）+b]²≤36对x∈[-2，2]恒成立可化为-b-6≤f（x）≤-b+6对x∈[-2，2]恒成立，
①a≥1时，M（a）=f（-2）=4+4+3a=8+3a，m（a）=f（1）=3a-1；
故-b-6≤3a-1，且8+3a≤-b+6，
从而解得，a+b≤-2a-2≤-4，
②当0≤a＜1时，M（a）=f（-2）=4+4+3a=8+3a，m（a）=f（a）=a²+a；
故-b-6≤a²+a，且8+3a≤-b+6，
则-7＜a+b≤-2；
③当-1＜a＜0时，M（a）=f（2）=8-a，m（a）=f（a）=a²+a；
故-b-6≤a²+a，且8-a≤-b+6，
故-7＜a+b＜-2，
④当a≤-1时，M（a）=f（2）=8-a，m（a）=f（-1）=-a-1；
故-b-6≤-a-1，且8-a≤-b+6，
则b+a≤-4，
综上所述，b+a≤-2．

点评：本题考查了函数的最值，同时考查了恒成立问题的处理方法，特别是讨论比较复杂，属于难题．