Question

已知OBCD是平行四边形，|OB|=1，|OD|=2，∠BOD=60°，动直线x=t由向右平移，分别交平行四边形两边于不同的两点M，N（如图1）．
（1）写出△OMN的面积S关于t的表达式S（t）；
（2）画出S（t）的图象（在图2中）．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：本题可以先求出点B、D、C求出直线OD、DC、BC的方程，再根据t的大小，分类讨论，确定点M、N的位置，求出点M、N的坐标，从而得到求出△OMN的面积S关于t的函数；（2）由（1）的结论，分段画出函数S（t）的图象，得到本题结论．

解答： 解：（1）∵四边形OBCD是平行四边形，|OB|=1，|OD|=2，∠BOD=60°，
∴D（1，

3

），B（1，0），C（2，

3

）．
∴线段OD的方程为：y=

3

x，x∈[0，1]，
线段BC的方程为：y=

3

x-

3

，x∈[1，2]，
∵动直线x=t由向右平移，分别交平行四边形两边于不同的两点M，N，
∴当0＜t≤1时，直线与OB、OD相交，M（t，

3

t），N（t，0），
△OMN的面积S关于t的表达式S（t）=

1

2

×

3

t×t=

3

2

t2；
当1＜t＜2时，直线与DC、BC相交，M（t，

3

），N（t，

3

t-

3

），
△OMN的面积S关于t的表达式S（t）=

1

2

×t×(

3

-

3

t+

3

)=

3

2

(-t2+2t)．
∴S（t）=

3 2 t2，t∈(0，1] 3 2 (-t2+2t)，t∈(1，2)

．
（2）函数S（t）的图象如图：

点评：本题考查了函数的实际应用、还考查了分类讨论的数学思想，本题难度不大，属于基础题．