Question

函数f（x）=

x+ax+1

x-1

•lgx的值域为（0，+∞）则实数a的最小值是

 

．

Answer 1

考点：函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：由题意，得函数的定义域，讨论x＞1、0＜x＜1时，函数解析式的取值范围，从而求出a的最小值．

解答： 解：∵函数f（x）=

x+ax+1

x-1

•lgx的值域为（0，+∞），
∴函数的定义域是{x|x＞0，且x≠1}；
当x＞1时，x-1＞0，lgx＞0，
∴x+ax+1＞0，
∴a＞-（1+

1

x

），令g（x）=-（1+

1

x

），x∈（1，+∞），
x→+∞时，g（x）→-1，x→1时，g（x）→-2，
∴-2＜g（x）＜-1，
∴a≥-1，
当0＜x＜1时，x-1＜0，lgx＜0，
∴x+ax+1＞0，
∴a＞-（1+

1

x

），令h（x）=-（1+

1

x

），x∈（0，1），
x→0时，g（x）→-∞，x→1时，g（x）→-2，
∴g（x）＜-2，
∴a≥-2，
综上，实数a≥-2无最小值．
故答案为：-2．

点评：本题考查了函数的值域及其应用问题，是易错题．