Question

给出以下命题其中正确的序号为

 

（1）直线y=kx+1-4k和圆x²+y²-6x-4y+9=0的位置与k的取值有关；
（2）椭圆

x2

9

+

y2

4

=1不存在以M（2，0）为中点的弦；
（3）双曲线x²-

y2

2

=1不存在以P（1，1）为中点的弦；
（4）若抛物线y²=4x与直线y=k（x+2）有且只有一个交点，则k=0或k=

2

2

或k=-

2

2

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：判断直线y=kx+1-4k恒过定点A（4，1），A与圆的位置关系，即可判断（1）；
假设存在以M（2，0）为中点的弦AB，设出A，B的坐标，运用点差法和中点斜边公式，
可得直线AB，即可判断（2）；
假设双曲线x²-

y2

2

=1存在以P（1，1）为中点的弦CD，运用点差法和中点坐标公式、
斜率公式以及直线方程的形式，注意检验，即联立双曲线方程，由判别式的符号即可判断（3）；
对k讨论，k=0和k≠0，由直线与抛物线相切时，联立方程，运用判别式为0，即可判断（4）．

解答： 解：对于（1），直线y=kx+1-4k恒过定点A（4，1），圆x²+y²-6x-4y+9=0的圆心为C（3，2），
半径为2，由于|AC|=

2

＜2，即有A在圆内，则直线和圆恒相交，则（1）错；
对于（2），假设存在以M（2，0）为中点的弦AB，可设A（a，b），B（c，d），
则a+c=4，b+d=0，且

a2

9

+

b2

4

=1，

c2

9

+

d2

4

=1，两式相减可得

(a-c)(a+c)

9

+

(b-d)(b+d)

4

=0，
即有a=c=2，AB垂直于x轴，故存在，则（2）错；
对于（3），假设双曲线x²-

y2

2

=1存在以P（1，1）为中点的弦CD，则可设C（m，n），D（p，q），
则m+p=2，n+q=2，且m²-

n2

2

=1，p²-

q2

2

=1，两式相减可得（m-p）（m+p）=

(n-q)(n+q)

2

，
即有k_CD=

n-q

m-p

=2，则直线CD：y=2x-1，联立双曲线方程可得2x²-4x+6=0，判别式为16-4×2×6＜0，
则直线不存在，则（3）对；
对于（4），若抛物线y²=4x与直线y=k（x+2）有且只有一个交点，则当k=0，即y=0与抛物线交于顶点，
当k≠0，直线与抛物线相切时，联立两方程，消去y，可得k²x²+4（k²-1）x+4k²=0，
由△=16（k²-1）²-16k⁴=0，解得k=±

2

2

，则k=0或±

2

2

，则（4）对．
故答案为：（3）（4）．

点评：本题考查直线和圆的位置关系的判断，考查圆锥曲线的中点弦问题，考查直线和抛物线有且只有一个公共点的问题，考查运算能力，属于中档题和易错题．