Question

设函数f(x)=sin(

1

2

x+θ)-

3

cos(

1

2

x+θ)(|θ|＜

π

2

)，且其图象关于y轴对称，则函数y=f（x）的一个单调递减区间是（　　）

• A、(0，

  π

  2

  )
• B、(

  π

  2

  ，π)
• C、(-

  π

  2

  ，-

  π

  4

  )
• D、(

  3π

  2

  ，2π)

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,正弦函数的单调性

专题：三角函数的图像与性质

分析：利用辅助角公式、两角差的正弦公式化简函数解析式，由题意和正弦函数的对称轴求出θ的值，代入解析式利用诱导公式化简，再由余弦函数的单调区间求出f（x）的单调增区间，结合答案项进行判断即可．

解答： 解：由题意得，
f（x）=2[

1

2

sin（

1

2

x+θ）-

3

2

cos（

1

2

x+θ）]=2sin（

1

2

x+θ-

π

3

），
∵图象关于y轴对称，∴θ-

π

3

=kπ+

π

2

，k∈Z，
又∵|θ|＜

π

2

，∴当k=-1时，θ=-

π

6

满足题意，
∴f（x）=2sin（

1

2

x-

π

6

-

π

3

）=2sin（

1

2

x-

π

2

）=-2cos

1

2

x，
由2kπ-π≤

1

2

x≤2kπ可得4kπ-2π≤x≤4kπ，
∴函数f（x）的单调递增区间为[4kπ-2π，4kπ]，k∈Z，
当k=0时，函数f（x）的一个单调递增区间为[-2π，0]，
当k=1时，函数f（x）的一个单调递增区间为[2π，4π]，
所以A、B、D不正确；C正确，
故选：C．

点评：本题考查辅助角公式、两角差的正弦公式，诱导公式，以及正弦、余弦函数的性质，属于中档题．