Question

【题目】已知函数，其中是自然对数的底数．

（1）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围；

（2）已知正数满足：存在，使得成立．试比较与的大小，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】(1);(2)见解析.

【解析】分析：（1）设，不等式可化为 ，对可把作为一个整体，分子分母同除以，转化后可利用基本不等式求得其最值，从而得的范围；

（2）令函数，则，由导数可求得的最小值，而题中命题成立，即这个最小值，从而可得的取值范围，而比较与，即比较与的大小，即比较与的大小.于是可构造函数（），利用导数得出其单调性，从而得结论.

详解：（1）由条件知在上恒成立，

令（），则，所以对于任意成立．

因为，∴，

当且仅当，即时等号成立．

因此实数的取值范围是．

（2）令函数，则，

当时，，，又，故，

所以是上的单调递增函数，

因此在上的最小值是．

由于存在，使成立，当且仅当最小值，

故，即．

与均为正数，同取自然底数的对数，

即比较与的大小，试比较与的大小．

构造函数（），则，

再设，，从而在上单调递减，

此时，故在上恒成立，则在上单调递减．

综上所述，当时，；

当时，；

当时，．