Question

9．已知f（x）为定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）为二次函数，且满足f（2）=1，f（x）在（0，+∞）上的两个零点为1和3．
（1）求函数f（x）在R上的解析式；
（2）若x∈（-∞，m），函数f（x）的图象恒在y=-3的上方，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设出x＞0的f（x）的解析式，由f（2）=1，求得系数，得到解析式；再由奇函数的定义，即可得到所求f（x）的解析式；
（2）由题意可得x∈（-∞，m）时，f（x）的最小值大于-3．讨论x＜0时的最大值，以及x＞0时，f（x）=-3的解，结合图象即可得到所求m的范围．

解答 解：（1）由题意，当x＞0时，设f（x）=a（x-1）（x-3）（a≠0），
∵f（2）=1，∴a=-1，∴f（x）=-x²+4x-3，
当x＜0时，-x＞0，∵f（x）为R上的奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）=-f（-x）=-[-（-x）²+4（-x）-3]=x²+4x+3，
即x＜0时，f（x）=x²+4x+3，
当x=0时，由f（-x）=-f（x）得：f（0）=0，
所以f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+4x-3，x＞0}\\{0，x=0}\\{{x}^{2}+4x+3，x＜0}\end{array}\right.$；        
（2）作出f（x）的图象（如图所示）
由x∈（-∞，m），函数f（x）的图象恒在y=-3的上方，
可得x∈（-∞，m）时，f（x）的最小值大于-3．
当x＜0时，f（x）=x²+4x+3在x=-2处取得最小值，且为-1；
当x＞0时，f（x）=-x²+4x-3的图象开口向下，
令-x²+4x-3=-3，解得x=0或4，
综上可得，m的范围是m≤4．

点评 本题考查函数的解析式的求法，注意运用函数的奇偶性和待定系数法，考查不等式恒成立问题的解法，运用转化思想和结合图象是解题的关键．