题目内容
14．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，O为坐标原点，若|OP|=$\frac{1}{2}$|F1F2|，且|PF1|•|PF2|=a2，则该椭圆的离心率为（ ）| A． | $\frac{3}{4}$ | B． | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | C． | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | D． | $\frac{1}{2}$ |
分析 由椭圆的定义可得，|PF1|+|PF2|=2a，又|PF1|•|PF2|=a2，可得|PF1|=|PF2|=a，即P为椭圆的短轴的端点，由条件可得b=c，计算即可得到椭圆的离心率．
解答 解：由椭圆的定义可得，|PF1|+|PF2|=2a，
又|PF1|•|PF2|=a2，
可得|PF1|=|PF2|=a，即P为椭圆的短轴的端点，
|OP|=b，且|OP|=$\frac{1}{2}$|F1F2|=c，
即有c=b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$，
即为a=$\sqrt{2}$c，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故选：C．
点评 本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的定义，以及a，b，c的关系，考查运算能力，属于基础题．
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问每周应生产书桌、书柜、电脑椅各多少张，才能使产值最高？最高产值是多少？（以千元为单位）
| 家具名称 | 书桌 | 书柜 | 电脑椅 |
| 工 时 | $\frac{1}{2}$ | $\frac{1}{3}$ | $\frac{1}{4}$ |
| 产值（千元） | 4 | 3 | 2 |
已知椭圆$G：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的长轴长为$2\sqrt{2}$，离心率$e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
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| A． | $\frac{4}{25}$ | B． | $\frac{8}{49}$ | C． | $\frac{7}{50}$ | D． | $\frac{14}{99}$ |