Question

如图，圆O与离心率为

3

2

的椭圆T：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）相切于点M（0，1）．
（1）求椭圆T与圆O的方程；
（2）过点M引两条互相垂直的两直线l₁、l₂与两曲线分别交于点A、C与点B、D（均不重合）．
①若P为椭圆上任一点，记点P到两直线的距离分别为d₁、d₂，求d₁²+d₂²的最大值；
②若3

MA•

MC

=4

MB

•

MD

，求l₁与l₂的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,椭圆的标准方程,直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用椭圆的离心率以及经过的特殊点，求出a、b、c，即可求出椭圆方程，圆的方程．由题意知：
（2）设P（x₀，y₀），利用l₁⊥l₂，得到

d

2 1

+

d

2 2

=PM2=

x

2 0

+(y0+1)2，通过-1≤y₀≤1求出

d

2 1

+

d

2 2

的最大值以及点的坐标．
（3）设l₁的方程为y=kx+1，联立方程解得A(-

2k

k2+1

，

1-k2

1+k2

)；解得C(-

8k

4k2+1

，

1-4k2

1+4k2

)，然后求出B，D，求出3

MA•

MC

=4

MB

•

MD

中的向量，利用等式得

3k2

1+4k2

=

4

k2+4

，推出k，然后求出直线方程．

解答： 解：（1）由题意知：

c

a

=

3

2

，b=1，c2+b2=a2解得a=2，b=1，c=

3

可知：
椭圆C的方程为

x2

4

+y2=1与圆O的方程x²+y²=1…（4分）
（2）设P（x₀，y₀）因为l₁⊥l₂，则

d

2 1

+

d

2 2

=PM2=

x

2 0

+(y0+1)2，因为

x 2 0

4

+

y

2 0

=1
所以

d

2 1

+

d

2 2

=4-4

y

2 0

+(y0+1)2=-3(y0+

1

3

)2+

16

3

，…（7分）
因为-1≤y₀≤1所以当y0=-

1

3

时

d

2 1

+

d

2 2

取得最大值为

16

3

，此时点P(±

4 2

3

，-

1

3

)…（9分）
（3）设l₁的方程为y=kx+1，由

y=kx+1 x2+y2=1

解得A(-

2k

k2+1

，

1-k2

1+k2

)；
由

y=kx+1 x2 4 +y2=1

解得C(-

8k

4k2+1

，

1-4k2

1+4k2

)…（11分）
把A，C中的k置换成-

1

k

可得B(

2k

k2+1

，

k2-1

k2+1

)，D(

8k

k2+4

，

k2-4

k2+4

)…（12分）
所以

MA

=(-

2k

k2+1

，

-2k2

1+k2

)，

MC

(-

8k

4k2+1

，

-8k2

1+4k2

)，

MB

=(

2k

k2+1

，

-2

k2+1

)，

MD

=(

8k

k2+4

，

-8

k2+4

)
由3

MA•

MC

=4

MB

•

MD

得

3k2

1+4k2

=

4

k2+4

解得k=±

2

…（15分）
所以l₁的方程为y=

2

x+1，l₂的方程为y=-

2

2

x+1
或l₁的方程为y=-

2

x+1，l₂的方程为y=

2

2

x+1…（16分）

点评：本题考查直线与椭圆方程的综合应用，直线方程的求法，椭圆方程的求法，考查转化思想以及计算能力．