Question

5．（重点中学做）在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足$\frac{c}{cosC}$=$\frac{a+b}{cosA+cosB}$
（1）求角C的大小；
（2）若c=4，求a+b的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理化简已知可得：$\frac{sinC}{cosC}$=$\frac{sinA+sinB}{cosA+cosB}$，整理可得sin（C-A）=sin（B-C），利用正弦函数的图象和性质可得2C=A+B，即可解得C的值．
（2）由余弦定理可得：16=（a+b）²-3ab，又：ab≤（$\frac{a+b}{2}$）²，解得$\frac{1}{4}$（a+b）²≤16，从而解得：a+b≤8．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）∵$\frac{c}{cosC}$=$\frac{a+b}{cosA+cosB}$，
∴利用正弦定理可得：$\frac{sinC}{cosC}$=$\frac{sinA+sinB}{cosA+cosB}$，
∴sinCcosA+sinCcosB=sinAcosC+sinBcosC，即：sinCcosA-sinAcosC=sinBcosC-sinCcosB，
∴sin（C-A）=sin（B-C），
∴C-A=B-C或C-A=π-（B-C）（不成立），或C-A=-π-（B-C）（不成立），即2C=A+B，可得：C=$\frac{π}{3}$…6分
（2）由余弦定理可得：c²=a²+b²-2abcosC，
可得：16=a²+b²-ab=（a+b）²-3ab，
又：ab≤（$\frac{a+b}{2}$）²，
可得：16≥（a+b）²-3（$\frac{a+b}{2}$）²，即$\frac{1}{4}$（a+b）²≤16…10分
可得：（a+b）²≤64．
解得：a+b≤8…11分
故a+b的最大值为8…12分

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，正弦函数的图象和性质，基本不等式的应用，考查了分类讨论思想、转化思想，属于中档题．