Question

17．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+4x，x≤0}\\{xlnx，x＞0}\end{array}\right.$，g（x）=kx-1，若方程f（x）-g（x）=0在x∈（-2，2）有三个实根，则实数k的取值范围为（　　）

• A． （1，$\frac{1}{2}$+ln2）
• B． （$\frac{1}{2}$+ln2，$\frac{3}{2}$）
• C． （$\frac{3}{2}$，2）
• D． （1，$\frac{1}{2}$+ln2）∪（$\frac{3}{2}$，2）

Answer 1

分析 利用参数分离法，构造函数，求函数的导数，研究函数的极值和最值，利用数形结合进行求解即可．

解答 解：当x=0时，f（0）=0，g（0）=-1，则f（x）-g（x）=0不成立，
即方程f（x）-g（x）=0没有0解．
即f（x）=g（x）没有O解，
①当x＞0时，xlnx=kx-1，
即kx=xlnx+1，则k=lnx+$\frac{1}{x}$，
设h（x）=lnx+$\frac{1}{x}$，
则h′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，
由h′（x）＞0得1＜x＜2，此时函数递增，
由h′（x）＜0得0＜x＜1，此时函数递减，
故当x=1时，函数h（x）取得极小值h（1）=1．
当x=2时，h（2）=$\frac{1}{2}$+ln2，当x→0时，h（x）→+∞，
②当x＜0时，x²+4x=kx-1，
即kx=x²+4x+1，则k=x+$\frac{1}{x}$+4，
设m（x）=x+$\frac{1}{x}$+4，
则m′（x）=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-1}{{x}^{2}}$，
由m′（x）＞0得x＞1（舍）或x＜-1，此时函数递增，
由m′（x）＜0得-1＜x＜0，此时函数递减，
故当x=-1时，函数m（x）取得极大值m（-1）=2．
当x=-2时，m（-2）=-2-$\frac{1}{2}$+4=$\frac{3}{2}$，当x→0时，m（x）→-∞，
作出 函数h（x）和m（x）的图象如图：
要使方程f（x）-g（x）=0在x∈（-2，2）有三个实根，
则k∈（1，$\frac{1}{2}$+ln2）∪（$\frac{3}{2}$，2），
故选：D．

点评 本题主要考查函数根的个数的问题，构造函数，利用导数研究函数 的极值以及利用数形结合是解决本题的关键．