题目内容

（文）已知O是平面上的一定点，在△ABC中，动点P满足条件 $数学公式$ = $数学公式$ +λ（ $数学公式$ + $数学公式$ ），其中λ∈[0，+∞）），则P的轨迹一定△ABC通过的

A.
内心
B.
重心
C.
垂心
D.
外心

B
分析：由 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ +λ（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ），知 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 共线，再由 $\text{[math]}$ 过 $\text{[math]}$ 中点D，知P点的轨迹也过D．所以P的轨迹一定过△ABC的重心．
解答：∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ +λ（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ），
∴ $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 共线，
∵ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ sinB=| $\text{[math]}$ |sinC，
∴ $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 共线，
∵ $\text{[math]}$ 过 $\text{[math]}$ 中点D，
∴P点的轨迹也过D．
∴P的轨迹一定过△ABC的重心．
故选B．
点评：本题考查向量共线的概念和三角形五心的应用，是基础题．解题时要认真审题，注意正弦定理的灵活运用．

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），其中λ∈[0，+∞）），则P的轨迹一定△ABC通过的（　　）

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），其中λ∈[0，+∞）），则P的轨迹一定△ABC通过的（　　）

(理)如图a所示，某地为了开发旅游资源，欲修建一条连接风景点P和居民区O的公路，点P所在的山坡面与山脚所在水平面α所成的二面角为θ(0°＜θ＜90°)，且sinθ=，点P到平面α的距离PH=0．4(km)．沿山脚原有一段笔直的公路AB可供利用．从点O到山脚修路的造价为a万元／km，原有公路改建费用为万元／km．当山坡上公路长度为l km(1≤l≤2)时，其造价为(l²+1)a万元已知OA⊥AB，PB⊥AB，AB=1．5(km)，OA=(km)．

(1)在AB上求一点D，使沿折线PDAO修建公路的总造价最小；

(2)对于(1)中得到的点D，在DA上求一点E，使沿折线PDEO修建公路的总造价最小；

(3)在AB上是否存在两个不同的点D′，E′，使沿折线．PD′E′O修建公路的总造价小于(2)中得到的最小总造价?证明你的结论．

a)

第19题图

(文)如图b所示，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∠ADC=90°，△ABC为等边三角形，且AA₁=AD=DC=2．

(1)求AC₁与BC所成角的余弦值；

(2)求二面角C₁-BD-C的大小；

(3)设M是BD上的点，当DM为何值时，D₁M⊥平面A₁C₁D?并证明你的结论．

第19题图

（文）已知O是平面上的一定点，在△ABC中，动点P满足条件

），其中λ∈[0，+∞）），则P的轨迹一定△ABC通过的（）
A．内心
B．重心
C．垂心
D．外心