Question

(理)如图a所示，某地为了开发旅游资源，欲修建一条连接风景点P和居民区O的公路，点P所在的山坡面与山脚所在水平面α所成的二面角为θ(0°＜θ＜90°)，且sinθ=，点P到平面α的距离PH=0．4(km)．沿山脚原有一段笔直的公路AB可供利用．从点O到山脚修路的造价为a万元／km，原有公路改建费用为万元／km．当山坡上公路长度为l km(1≤l≤2)时，其造价为(l²+1)a万元已知OA⊥AB，PB⊥AB，AB=1．5(km)，OA=(km)．

(1)在AB上求一点D，使沿折线PDAO修建公路的总造价最小；

(2)对于(1)中得到的点D，在DA上求一点E，使沿折线PDEO修建公路的总造价最小；

(3)在AB上是否存在两个不同的点D′，E′，使沿折线．PD′E′O修建公路的总造价小于(2)中得到的最小总造价?证明你的结论．

a)

第19题图

(文)如图b所示，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∠ADC=90°，△ABC为等边三角形，且AA₁=AD=DC=2．

(1)求AC₁与BC所成角的余弦值；

(2)求二面角C₁-BD-C的大小；

(3)设M是BD上的点，当DM为何值时，D₁M⊥平面A₁C₁D?并证明你的结论．

第19题图

Answer 1

答案：(理)(1)如图a所示，PH⊥α，HBα，PB⊥AB，由三垂线定理逆定理知，AB⊥HB，所以∠PBH是山坡与α所成二面角的平面角，则∠PBH=θ，PB==1．

设BD=x(km)，0≤x≤1.5．

则PD=∈[1，2]．

记总造价为f₁(x)万元，据题设有

f₁(x)=(PD²+1+AD+AO)a

=(x²)a

=(x)²a+()a

当x=，即BD=(km)时，总造价f₁(x)最小．

(2)设AE=y(km)，0≤y≤，总造价为f₂(y)万元，则

f₂(y)=[PD²+1+]a

=()a+a.

第19题图

则f′₂(y)=()a，由f′₂(y)=0，得y=1．

当y∈(0，1)时，f′₂(y)＜0，f₂(y)在(0，1)内是减函数；

当y∈(1，)时，f′₂(y)＞0，f₂(y)在(1，)内是增函数．

故当y=1，即AE=1(km)时，总造价f2(y)最小，且最小总造价为万元．

(3)解法一：不存在这样的点D′，E′．

事实上，在AB上任取不同的两点D′，E′．为使总造价最小，E显然不能位于D′与B之间．故可设E′位于D′与A之间，

且BD′=x₁(km)，AE′=y₁(km)，0≤x_l+y₂≤，

总造价为S万元，

则S=()a.

类似于(1)、(2)讨论知，≥，≥，

当且仅当x₁=，y₁=1同时成立时，上述两个不等式等号同时成立，此时BD′=(km)，AE=1(km)，S取得最小值a，点D′，E′分别与点D，E重合，所以不存在这样的点D′，E′，使沿折线PD′E′O修建公路的总造价小于(2)中得到的最小总造价．

解法二：同解法一得

S=()a

=(x₁)²a+[3(-y₁)+(+y₁)]·a+a

≥×.

当且仅当x₁=且3(-y₁)=(+y₁)，

即x₁=，y₁=1同时成立时，S取得最小值而a，以下同解法一．

(文)(1)∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是直四棱柱，

∴C₁C∥B₁B，且C₁C=B₁B，

∴四边形C₁CBB₁是平行四边形，

∴C₁B₁∥CB，

即∠AC₁B₁(或其补角)是AC₁与BC所成的角．

连接AB₁，在△AB₁C₁中，AC₁=AB₁=，C₁B₁=，

∴cos∠AC₁B₁==.

故AC₁与BC所成角的余弦值为．

(2)设AC∩BD=0，则BO⊥AC，连接C₁O，如图b所示．

∵CC₁⊥平面ABCD，

∴OC为C₁O在平面ABCD内的射影，

∴C₁O⊥BD，

则∠C₁OC为二面角C₁-BD-C的平面角．

在Rt△C₁CO中，OC=，C₁C=2，

tan∠C₁OC=，

故二面角C₁-BD-C的大小为aretan.

(3)在BD上取点M，使得OM=OD，连接AM，CM

∵AD=DC，∠ADC=90°

又DO⊥AC，且AO=OC，

∴CM=AM=AD．

∴四边形AMCD是一个正方形．

可证D₁M⊥A₁D，D₁M⊥A₁C₁，又A₁D∩A₁C₁=A₁，

∴D₁M⊥平面A₁C₁D，此时DM=．

故当DM=时，有D₁M⊥平面A₁C₁D．

第19题图(续).