Question

15．一块形状为直角三角形的铁皮，两直角边长分别为40cm、60cm，现要将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角，则矩形的最大面积是600cm²．

Answer 1

分析 设AC=40，BC=60．利用截距式可得直线AB的方程为$\frac{x}{40}+\frac{y}{60}=1$，S_矩形CDEF=xy，利用基本不等式求解xy的最大值即可．

解答 解：如图所示：
设AC=40，BC=60．
则直线AB的方程为$\frac{x}{40}+\frac{y}{60}=1$
设E（x，y），则$\frac{x}{40}+\frac{y}{60}=1$（0＜x＜40，0＜y＜60），
故有1≥2$\sqrt{\frac{x}{40}•\frac{y}{60}}$，化为：xy≤600，当且仅当$\frac{x}{40}=\frac{y}{60}=\frac{1}{2}$，即x=20，y=30时取等号．
∴S_矩形CDEF=xy≤600．
∵△ABC的面积S$\frac{1}{2}$×40×60=1200．是固定的，
∴当使得DE=20，EF=30，剪下矩形CDEF的面积最大时，才能使剩下的残料最少．
故答案为：600．

点评 本题考查了基本不等式的应用、直线的截距式等基础知识与基本方法，属于中档题．