Question

10．已知命题p：实数x满足不等式组$\left\{\begin{array}{l}2＜{2^x}＜8\\{x^2}-6x+8＜0\end{array}\right.$命题q：实数x满足不等式（x-1）（x+a-12）≤0（其中a∈R）．
（Ⅰ）解命题p中的不等式组；
（Ⅱ）若p是q的充分条件，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由2＜2^x＜8，利用指数函数的单调性解得x范围，利用一元二次不等式解法可得x²-6x+8＜0的解集，即可该不等式组的解集．
（II）p是q的充分条件，2＜x＜3使关于x的不等式（x-1）（x+a-12）≤0恒成立，即{ x|2＜x＜3}⊆{x|（x-1）（x+a-12）≤0}，对a分类讨论即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由2＜2^x＜8，解得1＜x＜3，
由x²-6x+8＜0，解得2＜x＜4，
∴该不等式组的解集为{x|2＜x＜3}，
（Ⅱ）∵p是q的充分条件，
∴2＜x＜3使关于x的不等式（x-1）（x+a-12）≤0恒成立，
即{ x|2＜x＜3}⊆{x|（x-1）（x+a-12）≤0}，（*）
（1）当1≥12-a，即a≥11时，不等式（x-1）（x+a-12）≤0的解为12-a≤x≤1，不满足（*），
（2）当1＜12-a，即a＜11时，不等式（x-1）（x+a-12）≤0的解为1≤x≤12-a，
于是有3≤12-a，解得a≤9，
故a的范围是（-∞，9]．

点评 本题考查了一元二次不等式的解法、充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．