Question

20．已知函数f（x）=|x+1|+|x-1|．
（Ⅰ）判断并证明函数f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）作出函数f（x）的图象，并求其单调减区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）显然f（x）定义域为R，并可求出f（-x）=f（x），从而得出f（x）为偶函数；
（Ⅱ）去绝对值号得到$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{-2x}&{x≤-1}\\{2}&{-1＜x＜1}\\{2x}&{x≥1}\end{array}\right.$，从而可画出f（x）的图象，根据图象便可得出f（x）的单调递减区间．

解答 解：（Ⅰ）f（x）的定义域为R；
∵f（-x）=|-x+1|+|-x-1|=|x-1|+|x+1|=f（x）；
∴f（x）为偶函数；
（Ⅱ）$f（x）=|x+1|+|x-1|=\left\{\begin{array}{l}{-2x}&{x≤-1}\\{2}&{-1＜x＜1}\\{2x}&{x≥1}\end{array}\right.$；
图象如下所示：

由图象可看出f（x）的单调减区间为：（-∞，-1]．

点评 考查函数奇偶性的定义及其判断方法和过程，含绝对值函数的处理方法：去绝对值号，根据函数图象求函数单调减区间的方法．