Question

2．已知函数$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{-{x^2}+2x，x＞0}\\{0，x=0}\\{{x^2}+mx，x＜0}\end{array}}\right.$为奇函数．
（Ⅰ）求f（-1）以及实数m的值；
（Ⅱ）写出函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅲ）若f（a）=1，求a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用奇函数的定义求f（-1）以及实数m的值；
（Ⅱ）作出函数的图象，即可写出函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅲ）若f（a）=1，则a=1，或a²+2a=1（a＜0），即可求a的值．

解答 解：（Ⅰ）f（1）=1，f（x）为奇函数，∴f（-1）=-f（1）=-1
∴1-m=-1，
∴m=2；
（Ⅱ）函数的图象如图所示，函数f（x）的单调递增区间是[-1，1]；
（Ⅲ）若f（a）=1，则a=1，或a²+2a=1（a＜0），
∴a=1或a=-1-$\sqrt{2}$．

点评 本题考查函数的性质，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．