Question

20．求下列函数的最大值
（1）y=x（1-2x）（0＜x＜$\frac{1}{2}$）；
（2）y=x$\sqrt{3{-x}^{2}}$（0＜x＜$\sqrt{3}$）．

Answer 1

分析 （1）由0＜x＜$\frac{1}{2}$，可得1-2x＞0，y=x（1-2x）=$\frac{1}{2}$•2x（1-2x），由基本不等式即可得到最大值；
（2）由0＜x＜$\sqrt{3}$，可得y＞0，y=x$\sqrt{3{-x}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}（3-{x}^{2}）}$，运用基本不等式即可得到最大值．

解答 解：（1）由0＜x＜$\frac{1}{2}$，可得1-2x＞0，
y=x（1-2x）=$\frac{1}{2}$•2x（1-2x）≤$\frac{1}{2}$•（$\frac{2x+1-2x}{2}$）²=$\frac{1}{8}$，
当且仅当x=$\frac{1}{4}$时，取得最大值$\frac{1}{8}$；
（2）由0＜x＜$\sqrt{3}$，可得y＞0，
y=x$\sqrt{3{-x}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}（3-{x}^{2}）}$≤$\sqrt{（\frac{{x}^{2}+3-{x}^{2}}{2}）^{2}}$=$\frac{3}{2}$，
当且仅当x2=3-x2，即x=$\frac{\sqrt{6}}{2}$时，取得最大值$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查函数的最值的求法，注意运用基本不等式，以及满足的条件：一正二定三等，考查运算能力，属于中档题．