Question

经市场调查，某超市的一种小商品在过去的近20天内的销售量（件）与价格（元）均为时间t（天）的函数，且销售量近似满足g（t）=80-2t（件），价格近似满足f（t）=20-

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|t-10|（元）．
（1）试写出该种商品的日销售额y与时间t（0≤t≤20）的函数关系表达式；
（2）求该种商品的日销售额y的最大值与最小值．

Answer 1

考点：分段函数的应用,函数解析式的求解及常用方法

专题：计算题,应用题,分类讨论,函数的性质及应用

分析：（1）根据y=g（t）•f（t），可得该种商品的日销售额y与时间t（0≤t≤20）的函数表达式；
（2）分段求最值，可求该种商品的日销售额y的最大值和最小值．

解答： 解：（1）依题意，可得：
y=g(t)•f(t)=(80-2t)•(20-

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|t-10|)=(40-t)•(40-|t-10|)，
所以y=

(30+t)(40-t)，0≤t≤10 (50-t)(40-t)，10＜t≤20

；
（2）当0≤t≤10时，y=（30+t）（40-t）=-（t-5）²+1225，
y的取值范围是[1200，1225]，在t=5时，y取得最大值为1225；
当10＜t≤20时，=（50-t）（40-t）=（t-45）²-25，
y的取值范围是[600，1200），在t=20时，y取得最小值为600．
综上所述，第五天日销售额y最大，最大为1225元；
第20天日销售额y最小，最小为600元．

点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查函数最值的研究，考查学生的计算能力，利用二次函数的性质是解决本题的关键．