Question

18．已知函数f（x）=$\frac{1-x}{x}$+lnx，则f（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上的最大值等于1-ln2．

Answer 1

分析 求出导函数，从而确定函数的单调性，进而求函数的最值．

解答 解：∵函数f（x）=$\frac{1-x}{x}$+lnx，
∴f′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，
故f（x）在[$\frac{1}{2}$，1]上单调递减，在[1，2]单调递增，
又∵f（$\frac{1}{2}$）=1-ln2，f（2）=ln2-$\frac{1}{2}$，
f（1）=0，
f（$\frac{1}{2}$）-f（2）=$\frac{3}{2}$-2ln2＞0，
故f_max（x）=1-ln2，
故答案为：1-ln2．

点评 本题考查了导数的综合应用，属于中档题．