Question

4．已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，满足f（2+x）=f（2-x），若函数y=f（x）在（0，4）上至少有一个零点，且f（0）=0，则函数y=f（x）在（-8，10]上的零点个数至少为9．

Answer 1

分析 判断f（x）的对称性和周期性，利用周期性和对称性得出答案．

解答 解：∵f（2+x）=f（2-x）=f（x-2），
∴f（x）周期为4，
∵f（0）=0，∴f（4）=f（8）=f（-4）=0，
∵f（x）在（0，4）上至少有1个零点，
∴f（x）在（-8，-4），（-4，0），（4，8）上至少有1个零点，
∵f（2+x）=f（2-x），∴f（x）关于直线x=2对称，
∴f（x）关于直线x=10对称，
∴f（x）在（8，10]上至少存在1个零点，
综上，f（x）在（-8，10]上至少存在9个零点．
故答案为：9．

点评 本题考查了函数的对称性与周期性的应用，属于中档题．