Question

17．已知不过第二象限的直线l：ax-y-4=0与圆x²+（y-1）²=5相切．
（1）求直线l的方程；
（2）若直线l₁过点（3，-1）且与直线l平行，直线l₂与直线l₁关于直线y=1对称，求直线l₂的方程．

Answer 1

分析 （1）利用直线l与圆x²+（y-1）²=5相切，$\frac{5}{{\sqrt{1+{a^2}}}}=\sqrt{5}$，结合直线l不过第二象限，求出a，即可求直线l的方程；
（2）直线l₁的方程为2x-y+b=0，直线l₁过点（3，-1），求出b，即可求出直线l₁的方程；利用直线l₂与l₁关于y=1对称，求出直线的斜率，即可求直线l₂的方程．

解答 解：（1）∵直线l与圆x²+（y-1）²=5相切，∴$\frac{5}{{\sqrt{1+{a^2}}}}=\sqrt{5}$，…（2分）
∵直线l不过第二象限，∴a=2，
∴直线l的方程为2x-y-4=0；…（4分）
（2）∵直线l₁过点（3，-1）且与直线l平行，
∴直线l₁的方程为2x-y+b=0，…（6分）
∵直线l₁过点（3，-1），∴b=-7，
则直线l₁的方程为2x-y-7=0，…（7分）
∵直线l₂与l₁关于y=1对称，∴直线l₂的斜率为-2，且过点（4，1），…（9分）
∴直线l₂的斜率为y-1=-2（x-4），即化简得2x+y-9=0．…（10分）

点评 本题考查直线方程，考查直线与直线的位置关系，属于中档题．