Question

17．已知定义在正实数集上的函数f（x）、g（x），g（x）≠0，f（x）=log_ax•g（x）（a＞0且a≠1），f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），若关于t的方程[g（4）•t]²+1=f（4）•t有唯一解，则a的值为（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． 2
• D． $\frac{1}{2}$或2

Answer 1

分析 构造函数，利用函数的单调性，推出a的范围，利用二次方程由唯一解，通过判别式转化求解a即可．

解答 解：令F（x）=$\frac{f（x）}{g（x）}$，可得：F′（x）=$\frac{f′（x）g（x）-f（x）g′（x）}{[g（x）]^{2}}$，∵f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），∴F′（x）＜0，函数F（x）是减函数，
F（x）=$\frac{f（x）}{g（x）}$=log_ax，所以0＜a＜1．
f（x）=log_ax•g（x），可得f（4）=log_a4•g（4），
关于t的方程[g（4）•t]²+1=f（4）•t有唯一解，
即关于t的方程[g（4）•t]²+1=log_a4•g（4）•t有唯一解，
即log²_a4•g²（4）-4g²（4）=0，
可得log²_a4=4，可得a=$\frac{1}{2}$，a=2（舍去）
故选：B．

点评 本题考查函数的导数与函数的单调性的关系，二次方程根的个数的判断，对数函数的应用，考查转化思想以及计算能力．