Question

如图,在长方体中,点在棱上.

（1）求异面直线与所成的角；

（2）若二面角的大小为,求点到平面的距离.

 

Answer 1

(1)；(2).

【解析】

试题分析：根据几何体的特征，可有两种思路，即“几何法”和“向量法”.

思路一:(1)连结.由是正方形知.

根据三垂线定理得,即得异面直线与所成的角为.

(2)作,垂足为,连结,得.为二面角的平面角,.于是,根据,得,又,得到.

设点到平面的距离为,于求得.

思路二:分别以为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系.

(1)由,得,

设,又,则.

计算得即得解.

(2)为面的法向量,设为面的法向量,

由,

得到.①

由,得,根据,即,

得到②

由①、②,可取,

点到平面的距离.

试题解析：解法一:(1)连结.由是正方形知.

∵平面,

∴是在平面内的射影.

根据三垂线定理得,

则异面直线与所成的角为. 5分

(2)作,垂足为,连结,则.

所以为二面角的平面角,.于是,

易得,所以,又,所以.

设点到平面的距离为,则由于即,

因此有,即,∴. .. 12分

解法二:如图,分别以为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系.

(1)由,得,

设,又,则.

∵∴,则异面直线与所成的角为. 5分

(2)为面的法向量,设为面的法向量,则

,

∴.①

由,得,则,即,∴②

由①、②,可取,又,

所以点到平面的距离. 12分

考点：异面直线所成的角，点到平面的距离.