Question

12．已知函数f（x）=x²-2x+4．数列{a_n}是公差为d的等差数列，且a₁=f（d-1），a₃=f（d+1）．
（1）求数列{a_n}的通项公式．
（2）若S_n为数列{a_n}的前项和，求证：$\frac{1}{S_1}+\frac{1}{S_2}+\frac{1}{S_3}…+\frac{1}{{S{\;}_n}}＜\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列的通项公式即可得出．
（2）利用等差数列的求和公式、“裂项求和”方法即可证明．

解答 解：（1）由已知可知：$\left\{\begin{array}{l}a{\;}_1={（{d-1}）^2}-2（{d-1}）+4\\{a_3}={（{d+1}）^2}-2（{d+1}）+4\end{array}\right.$，
即：$\left\{\begin{array}{l}a{\;}_1={d^2}-4d+7\\{a_1}+2d={d^2}+3\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a_1}=3\\ d=2\end{array}\right.$，
∴a_n=2n+1．
（2）由（1）知S_n=3+5+…+（2n+1）=n（n+2），
则$\frac{1}{S_n}=\frac{1}{n（n+2）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，
∴$\frac{1}{S_1}+\frac{1}{S_2}+\frac{1}{S_3}…+\frac{1}{S_n}$=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$=$\frac{1}{2}（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$
=$\frac{3}{4}-\frac{2n+3}{2（n+1）（n+2）}$．
∵$\frac{2n+3}{2（n+1）（n+2）}＞0$，∴$\frac{1}{S_1}+\frac{1}{S_2}+\frac{1}{S_3}…+\frac{1}{{S{\;}_n}}＜\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．