Question

5．若实数x，y满足不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x+3y-3≥0}\\{2x-y-3≤0}\\{x-y+1≥0}\\{\;}\end{array}\right.$．
（Ⅰ）求目标函数z=x+y的最大值；
（Ⅱ）求目标函数z=x²+y²的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）作出不等式组对应的平面区域，平移直线y=-x，进行求解即可．
（Ⅱ）利用z=x²+y²是点（x，y）到原点的距离的平方，利用距离公式进行求解即可．

解答 解：（I）画出可行域如图：…（4分）
令z=x+y，可变为y=-x+z，
作出目标函数线y=-x，平移目标函数线，显然过点A时z最大．
由$\left\{\begin{array}{l}{2x-y-3=0}\\{x-y+1=0}\end{array}\right.$，得A（4，5），∴z的最大值为z=4+5=9．…（8分）
（II）z=x²+y²是点（x，y）到原点的距离的平方，
故最大值为点A（4，5）到原点的距离的平方
即|AO|²=x²+y²=4²+5²=41．…（10分）

点评 本题主要考查线性规划的应用，根据直线平移以及两点间的距离公式是解决本题的关键．