Question

13．已知点C为圆（x+1）²+y²=8的圆心，P是圆上的动点，点Q在圆的半径CP上，且有点A（1，0）和AP上的点M，满足$\overrightarrow{MQ}$•$\overrightarrow{AP}$=0，$\overrightarrow{AP}$=2$\overrightarrow{AM}$．
（Ⅰ）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程；
（Ⅱ）若斜率为k的直线 l与圆x²+y²=1相切，直线 l与（Ⅰ）中所求点Q的轨迹交于不同的两点F，H，O是坐标原点，且$\frac{3}{4}$≤$\overrightarrow{OF}$•$\overrightarrow{OH}$≤$\frac{4}{5}$时，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （I）利用线段的垂直平分线的性质、椭圆的定义即可得出．
（II）设直线l：y=kx+b，F（x₁，y₁），H（x₂，y₂）直线l与圆x²+y²=1相切，可得b²=k²+1．直线方程与椭圆方程联立可得：（1+2k²）x²+4kbx+2b²-2=0，△＞0，可得k≠0，再利用数量积运算性质、根与系数的关系及其$\frac{3}{4}$≤$\overrightarrow{OF}$•$\overrightarrow{OH}$≤$\frac{4}{5}$，解出即可得出．

解答 解：（I）由题意知MQ中线段AP的垂直平分线，∴$|{CP}|=|{QC}|+|{QP}|=|{QC}|+|{QA}|=2\sqrt{2}＞|{CA}|=2$，
∴点Q的轨迹是以点C，A为焦点，焦距为2，长轴为$2\sqrt{2}$的椭圆，$b=\sqrt{{a^2}-{c^2}}=1$，
故点Q的轨迹方程是$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．
（II）设直线l：y=kx+b，F（x₁，y₁），H（x₂，y₂）
直线l与圆x²+y²=1相切$⇒\frac{|b|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=1⇒{b^2}={k^2}+1$
联立$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{x^2}{2}+{y^2}=1}\\{y=kx+b}\end{array}}\right.$，（1+2k²）x²+4kbx+2b²-2=0，
△=16k²b²-4（1+2k²）2（b²-1）=8（2k²-b²+1）=8k²＞0，可得k≠0，
∴${x_1}+{x_2}=-\frac{4kb}{{1+2{k^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{{2{b^2}-2}}{{1+2{k^2}}}$，
$\overrightarrow{OF}•\overrightarrow{OH}={x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}=（{1+{k^2}}）{x_1}{x_2}+kb（{x_1}+{x_2}）+{b^2}$=$\frac{{（1+{k^2}）（2{b^2}-2）}}{{1+2{k^2}}}+kb\frac{（-4kb）}{{1+2{k^2}}}+{b^2}$=$\frac{{（1+{k^2}）2{k^2}}}{{1+2{k^2}}}-\frac{{4{k^2}（{k^2}+1）}}{{1+2{k^2}}}+{k^2}+1$=$\frac{{1+{k^2}}}{{1+2{k^2}}}$，
∴$\frac{3}{4}≤\frac{{1+{k^2}}}{{1+2{k^2}}}≤\frac{4}{5}$$?\frac{1}{3}≤{k^2}≤\frac{1}{2}$
$⇒\frac{{\sqrt{3}}}{3}≤|k|≤\frac{{\sqrt{2}}}{2}⇒-\frac{{\sqrt{2}}}{2}≤k≤-\frac{{\sqrt{3}}}{3}或\frac{{\sqrt{3}}}{3}≤k≤\frac{{\sqrt{2}}}{2}$为所求．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相切的充要条件、一元二次方程的根与系数的关系、数量积运算性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．