Question

15．已知△ABC中的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，点D，E分别是AB，AC的中点，若2sinC=3sinB，则$\frac{BE}{CD}$的取值范围是（$\frac{8}{7}$，4）．

Answer 1

分析 利用余弦定理把BE和CD表示出来，利用三角函数的有界性求解即可．

解答 解：点D，E分别是AB，AC的中点，2sinC=3sinB，得：b=$\frac{2}{3}c$，
余弦定理可得：CD²=b²+$\frac{{c}^{2}}{4}-bccosA$，
同理可得：BE²=c²+$\frac{{b}^{2}}{4}-bccosA$，
那么：$\frac{B{E}^{2}}{C{D}^{2}}=\frac{{c}^{2}+\frac{1}{4}×\frac{4}{9}{c}^{2}-\frac{2}{3}{c}^{2}cosA}{\frac{4}{9}{c}^{2}+\frac{1}{4}{c}^{2}-\frac{2}{3}{c}^{2}cosA}$=$\frac{24cosA-40}{24cosA-25}$=1-$\frac{15}{24cosA-25}$．
∵0＜A＜π，
∴-49＜24cosA-25＜-1，
∴$\frac{64}{49}＜\frac{B{E}^{2}}{C{D}^{2}}＜16$，
∴$\frac{BE}{CD}$的取值范围是（$\frac{8}{7}$，4）．
故答案为（$\frac{8}{7}$，4）．

点评 本题考查余弦定理的运用能力和计算能力，利用三角函数的有界限求范围，计算量大，属于中档题．