Question

5．若等比数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n=a-（$\frac{1}{2}$）^n-1，则直线（a-1）x-y+3=0与圆（x-a）²+y²=12的位置关系为（　　）

• A． 相离
• B． 相切
• C． 相交
• D． 无法确定

Answer 1

分析 由数列的递推式：当n=1时，a₁=S₁，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，可得a=2，再求圆心和半径，求得圆心到直线的距离，与半径比较即可得到位置关系．

解答 解：等比数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n=a-（$\frac{1}{2}$）^n-1，
当n=1时，a₁=S₁=a-1，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=a-（$\frac{1}{2}$）^n-1-a+（$\frac{1}{2}$）^n-2
=（$\frac{1}{2}$）^n-1，
上式对n=1也成立，可得a-1=1，即a=2，
则直线（a-1）x-y+3=0与圆（x-a）²+y²=12，
即直线为x-y+3=0，
圆的方程为（x-2）²+y²=12，圆心为（2，0），半径为2$\sqrt{3}$，
由圆心到直线的距离d=$\frac{|2-0+3|}{\sqrt{2}}$=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$＞2$\sqrt{3}$，
可得直线和圆相离．
故选：A．

点评 本题考查等比数列的求和公式和通项公式，注意运用当n=1时，a₁=S₁，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1的结论，考查直线和圆的位置关系，注意运用圆心到直线的距离与半径的关系，考查化简整理运算能力，属于中档题．