Question

已知定义在R上的函数f（x）、g（x）满足

f(x)

g(x)

=a^x，且f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=

5

2

，若有穷数列{

f(n)

g(n)

}（n∈N^*）的前n项和为

127

128

，则n=（　　）

• A、4
• B、5
• C、6
• D、7

Answer 1

考点：导数的运算,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的概念及应用

分析：根据函数的单调性和导数之间的关系，求出a的取值范围，再由

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=

5

2

，即可得到a的值，然后利用等比数列的前n项和公式即可得到结论．

解答： 解：由于[

f(x)

g(x)

]′=

f′(x)g(x)-f(x)g′(x)

g2(x)

＜0，
故函数

f(x)

g(x)

=ax单调递减，所以0＜a＜1．
又

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=

5

2

，即a+a-1=

5

2

，解得a=

1

2

或a=2（舍）．
所以

f(x)

g(x)

=(

1

2

)x，
故{

f(n)

g(n)

}(n∈N*)是首项为

f(1)

g(1)

=

1

2

，公比q=

1

2

，
所以前n项和为

1 2 (1-( 1 2 )n)

1- 1 2

=1-(

1

2

)n，
由1-(

1

2

)n=

127

128

得n=7．
故选：D．

点评：本题主要考查函数单调性和导数之间的关系，等比数列的前n项和公式的计算，考查学生的计算能力．